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Límite de funciones
Soluciones a las actividades propuestas:
Los límites laterales son + y -
Su valor es -1/3
El resultado es -10
El límite vale 15
Este límite vale -
El límite vale -1
El límite vale -
El resultado es -1
El resultado es -1
Hay que estudiar los límites laterales
LÍMITE DE FUNCIONES (I) Cálculo de límites cuando x tiende a infinito
Los límites indican la tendencia de una función al incrementarse o disminuir x indefinidamente, o bien cuando x se aproxima infinitamente a un cierto valor. En los dos primeros casos, hablamos de límite cuando x tiende a + infinito o a - infinito.
Cálculo de límites cuando x tiende a +infinito. Para determinar el comportamiento de la función al crecer x, podemos darle valores cada vez mayores y observar su tendencia. En la práctica, seguimos estas sencillas reglas: 1. En una función polinómica, el límite viene dado por el término de mayor grado. 2. En el caso de una función racional, debemos considerar los grados del numerador y del denominador: Si el grado del denominador es mayor, el límite vale 0. Si los grados son iguales, el límite es el cociente entre los coeficientes de los términos de mayor grado. Si el grado del numerador es mayor, el límite vale 4, y el signo viene dado por el cociente entre los términos de mayor grado. 3. En general, cuando comparamos en sumas, restas o cocientes funciones que tienden a 4, la tendencia es la que corresponde al infinito de mayor orden, es decir, la función cuyo crecimiento es más rápido. Este orden es: exponencial > potencia > logaritmo.
Cálculo de límites cuando x tiende a -infinito. Este tipo de límites se calculan cambiando x de signo en la expresión de la función y obteniendo el límite de la misma cuando x tiende a + infinito. Es decir, se cumple lo siguiente: lim f(x) = lim f(-x)
LÍMITE DE FUNCIONES (II) Cálculo de límites cuando x tiende a c
Límites laterales cuando x tiende a c. Son los valores a los que tiende la función cuando x se aproxima a c por la izquierda (x tiende a c-), es decir, tomando valores menores que c, o por la derecha (x 6 c+), esto es, dándole valores mayores que c. Para calcularlos, seguimos estas reglas: 1. Si la función es continua, tanto el límite por la izquierda como el límite por la derecha coinciden con f(c). 2. Si la función está definida a trozos y el cambio se produce en x = c, entonces debemos calcular los límites laterales sustituyendo por c en las expresiones a la izquierda (x
c) de x = c. 3. Si c no pertenece al dominio de la función y ésta se va a 4 al aproximarse a x = c, los límites laterales valen 4, y podemos determinar el signo fácilmente sustituyendo en la función valores próximos a x = c, menores y mayores respectivamente.
Límite de una función cuando x tiende a c. Si los límites laterales existen y coinciden en valor, decimos que dicho valor es el límite de la función cuando x 6 c. Si la función es continua, el límite es simplemente el valor de f(c).
Ficha de actividad interactiva. Cálculo de límites de funciones. Teniendo en cuenta lo que has trabajado en las fichas anteriores, calcula los siguientes límites y marca en cada caso la opción correcta.
